Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1+cosx），$\overrightarrow$=（cosx，1+sinx）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求x的取值集合．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，若對任意的x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式tanθ-$\frac{5}{4}$＜f（x）＜tanθ+2+$\sqrt{3}$恒成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的坐標(biāo)表示得到（sinx-cosx）（sinx+cosx+1）=0，進(jìn)一步求得sinx=cosx或sinx+cosx=-1．則角x的取值集合可求；
（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得f（x），換元求出f（x）的值域，再由不等式tanθ-$\frac{5}{4}$＜f（x）＜tanθ+2+$\sqrt{3}$恒成立求得θ的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，1+cosx），$\overrightarrow$=（cosx，1+sinx），
由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，得sinx（1+sinx）-cosx（1+cosx）=0，
即sinx-cosx+sin²x-cos²x=0，
∴（sinx-cosx）（sinx+cosx+1）=0．
則sinx=cosx或sinx+cosx=-1．
當(dāng)sinx=cosx時，x=k$π+\frac{π}{4}，k∈Z$；
當(dāng)sinx+cosx=-1時，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）=-1$，$sin（x+\frac{π}{4}）=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
x+$\frac{π}{4}$=2kπ$-\frac{3π}{4}$，k∈Z或$x+\frac{π}{4}=2kπ-\frac{π}{4}，k∈Z$．
∴x=2kπ-π，k∈Z或x=2k$π-\frac{π}{2}，k∈Z$．
∴x的取值集合為{x|x=$kπ+\frac{π}{4}$或x=2kπ-π或x=2k$π-\frac{π}{2}，k∈Z$ }；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinxcosx+（1+sinx）（1+cosx）=1+sinx+cosx+2sinxcosx，
令t=sinx+cosx，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴t∈[-1，1]，
由t=sinx+cosx得，2sinxcosx=t²-1，
∴f（x）=1+t+t²-1=t²+t∈[$-\frac{1}{4}，2$]．
則由tanθ-$\frac{5}{4}$＜f（x）＜tanθ+2+$\sqrt{3}$恒成立，
得$\left\{\begin{array}{l}{tanθ-\frac{5}{4}＜-\frac{1}{4}}\\{tanθ+2+\sqrt{3}＞2}\end{array}\right.$，解得：$kπ-\frac{π}{3}＜θ＜kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$．
∴θ的取值范圍是（k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{4}$），k∈Z．

點評 本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角函數(shù)的化簡與求值，訓(xùn)練了已知三角函數(shù)值求角，是中檔題．