Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，．
（1）令，求證{b_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）令，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）由條件得===，…（2分）
又a₁=1，∴=1，
∴數(shù)列{b_n}構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列．…（3分）
∴b_n=，…（4分）
∴=，
∴a_n=…（5分）
（2）∵=-=，
∴S_n=++…+
∴S_n=++…++，…（7分）
兩式相減得：S_n=+2（+…+）-，…（8分）
∴S_n=5-．…（10分）
（3）∵，
∴S_n=（T_n+1-a₁）-T_n，…（12分）
∴T_n=2S_n+2a₁-2a_n+1=12-．…（14分）
分析：（1）由條件，利用等比數(shù)列的定義，即可證明{b_n}是等比數(shù)列，從而可求{a_n}的通項公式；
（2）確定數(shù)列{c_n}的通項，利用錯位相減法，即可求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．
（3）利用，及數(shù)列{c_n}的前n項和S_n，即可求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．
點評：本題考查等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．