Question

已知

a

=（2cosx，0），

b

=（

3

sinx，cosx），

c

=（cosx，sinx），函數(shù)f（x）=

a

•（

b

-

c

），x∈[0，

π

2

]．a(chǎn)，b，c為△ABC的角A、B、C的對(duì)邊．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及值域；
（2）在△ABC中，若

AB

•

AC

=-4，a=

7

，f（

A

2

）=1，求b+c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，及三角函數(shù)公式對(duì)f（x）化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，并求值域．
（2）利用

AB

•

AC

=-4應(yīng)得出bc=8，結(jié)合余弦定理整體求出b+c．

解答： 解：（1）

b

-

c

=（

3

sinx-cosx，cosx-sinx），2

3?

sinxcosx-2cos2x=

3?

sin2x-cos2x-1
f(x)=

a

•(

b

-

c

)=2

3?

sinxcosx-2cos2x=

3?

sin2x-cos2x-1=2sin(2x-

π

6

)-1
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x--

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
∴f（x）的值域?yàn)閇-2，1]
（2）由（1）知，f(

A

2

)=1可得sin(A-

π

6

)=1，∵0＜A＜π，∴A-

π

6

=

π

2

⇒A=

2π

3

又∵

AB

•

AC

=bccosA=-

1

2

bc=-4，∴bc=8
由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²+bc=28，∴b+c=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，難度不大，考查了數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)和方法．