Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞0)的左、右頂點分別為A、B，點P在橢圓上且異于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為-

1

2

，求橢圓的離心率；
（2）對于由（1）得到的橢圓C，過點P的直線l交x軸于點Q（-1，0），交y軸于點M，若|

MP

|=2|

PQ

|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）確定直線AP與BP的斜率，利用直線AP與BP的斜率之積為-

1

2

，點P在橢圓上，即可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)出直線l的方程，利用|

MP

|=2|

PQ

|，求得P的坐標(biāo)，利用點P在橢圓上，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由已知A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±a）．…（1分）
則直線AP的斜率kAP=

y0

x0+a

，直線BP的斜率kBP=

y0

x0-a

．
由

x02

a2

+

y02

2

=1，得y02=

2(a2-x02)

a2

．…（2分）
∴k_AP×k_AP=

y0

x0+a

×

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=

2(a2-x02) a2

-(a2-x02)

=-

2

a2

…（3分）
∴-

2

a2

=-

1

2

，得a²=4，…（4分）
∴e2=

4-2

4

=

1

2

．…（5分）
∴橢圓的離心率e=

2

2

．…（6分）
（2）由題意知直線l的斜率存在．…（7分）
設(shè)直線l的斜率為k，直線l的方程為y=k（x+1）…（8分）
則有M（0，k），設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±a），由于P，M，Q三點共線，且|

MP

|=2|

PQ

|
根據(jù)題意，得（x₀，y₀-k）=±2（x₀+1，y₀）…（9分）
解得

x0=-2 y0=-k

或

x0=- 2 3 y0= k 3

…（11分）
又點P在橢圓上，又由（1）知橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1
所以

(-2)2

4

+

(-k)2

2

=1…①或

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1…②
由①解得k²=0，即k=0，∵此時點P與橢圓左端點A重合，∴k=0舍去；            …（12分）
由②解得k²=16，即k=±4，∴直線直線l的斜率k=±4．…（14分）

點評：本小題主要考查直線斜率、橢圓的方程、離心率、向量的運(yùn)算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程的思想方法，考查綜合運(yùn)用能力以及運(yùn)算求解能力．