【題目】已知橢圓C：（）的左，右焦點為，，且焦距為，點，分別為橢圓C的上、下頂點，滿足.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點，橢圓C上的兩個動點M，N滿足，求證：直線過定點.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)，，，結(jié)合已知的向量表達式，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知四邊形為菱形，結(jié)合已知條件進行求解即可；

（2）根據(jù)直線是否存在斜率進行分類討論.設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩平面向量垂直的性質(zhì)進行求解即可.

（1）設(shè)，，，

由可知四邊形為菱形且，

故，解得，故，

橢圓C的方程為.

（2）當直線斜率存在時，設(shè)：，，.

聯(lián)立消去y得

，

，

，，

由，則，

即，

整理得，

將，代入整理得，

即，

解得或.

當時，直線：過點E，舍去；

當時，直線：過定點.

當直線斜率不存在時，不妨設(shè)，，

則由，則，

即，即，

即，解得（舍去）或，也過定點.

綜上，直線過定點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，為拋物線上的兩個不重合的動點，且，滿足，.

（1）證明：線段的垂直平分線經(jīng)過定點；

（2）若線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知

（1）若 ，且函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的范圍；

（2）若函數(shù)有兩個極值點 ， 且存在 滿足 ，令函數(shù) ，試判斷 零點的個數(shù)并證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的極小值為.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若過點可作三條不同的直線與曲線相切，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．

（1）求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標方程；

（2）若點P在曲線C1上，點Q曲線C2上，求|PQ|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓短軸端點，若為直角三角形且周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，直線,斜率的乘積為，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知（為自然對數(shù)的底數(shù)），.

（1）當時，求函數(shù)的極小值；

（2）當時，關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述不正確的是（ ）

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

查看答案和解析>>

同步練習冊答案