Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分線l交AC于D，當(dāng)點(diǎn)C動(dòng)點(diǎn)時(shí)，D點(diǎn)的軌跡圖形設(shè)為E．
（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P為E上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線E的右焦點(diǎn)為F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)（x，y）
∵l是BC的垂直平分線，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2 ＞2=|AB|
∴D點(diǎn)的軌跡圖形E是A，B為焦點(diǎn)的橢圓 其中2a=2 ，c=1，
∴a=，b²=a²-c²=1
∴D點(diǎn)的軌跡圖形E：
（2）設(shè) ，
則PO²=x²+y²，
PF²=（x-1）²+y²
∴|PO|²+|PF|²=2x²-2x+2y²+1
點(diǎn)P（x，y）滿足 ，
∴2y²=2-x²
∴|PO|²+|PF|²=x²-2x+3=（x-1）²+2
∵x∈[-，]，∴當(dāng)x=1時(shí)，|PO|²+|PF|²的最小值為2
分析：（1）設(shè)D（x，y），結(jié)合圖象由垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義知，點(diǎn)E的軌跡是橢圓，由定義求出參數(shù)，得出標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè) ，得出PO²=x²+y²，PF²=（x-1）²+y²，整理表示出PO|²+|PF|²，再根據(jù)p點(diǎn)在曲線上得出2y²=2-x²，從而整理出|PO|²+|PF|²=x²-2x+3=（x-1）²+2 根據(jù)x的范圍即可求出最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程以及直線與圓錐曲線問題，（2）問中要注意x的范圍，此題是一道綜合題．