【題目】已知數(shù)列的前項和為,且滿足,求數(shù)列的通項公式.勤于思考的小紅設(shè)計了下面兩種解題思路,請你選擇其中一種并將其補(bǔ)充完整.

思路1:先設(shè)的值為1,根據(jù)已知條件,計算出_________ __________, _________

猜想: _______.

然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明過程如下:

①當(dāng)時,________________,猜想成立

②假設(shè)N*)時,猜想成立,即_______

那么,當(dāng)時,由已知,得_________

,兩式相減并化簡,得_____________(用含的代數(shù)式表示).

所以,當(dāng)時,猜想也成立.

根據(jù)①和②,可知猜想對任何N*都成立.

思路2:先設(shè)的值為1,根據(jù)已知條件,計算出_____________

由已知,寫出的關(guān)系式: _____________________,

兩式相減,得的遞推關(guān)系式: ____________________

整理: ____________

發(fā)現(xiàn):數(shù)列是首項為________,公比為_______的等比數(shù)列.

得出:數(shù)列的通項公式____,進(jìn)而得到____________

【答案】 2 2

【解析】試題分析:思路1.由于,令,可求出的值,再令 ,可求出的值,再令,可求出的值,利用不完全歸納法,歸納猜想出,再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明, 這是一種“歸納—猜想—證明”思維方式,從特殊到一般的歸納推理方式;思路2.采用構(gòu)造法直接求出數(shù)列得通項公式.

試題解析:思路1.由于,令, ;令 , , ,令 , ,則

,由此猜想 ;下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明過程如下:

①當(dāng)時, ,得 ,符合 ,猜想成立.

②假設(shè)N*)時,猜想成立,即,

那么,當(dāng)時,由已知,得 ,

,兩式相減并化簡,得 (用含的代數(shù)式表示).所以,當(dāng)時,猜想也成立.

根據(jù)①和②,可知猜想對任何N*都成立.

思路2. 先設(shè)的值為1,根據(jù)已知條件,計算出,

由已知,寫出的關(guān)系式:

兩式相減,得的遞推關(guān)系式: ,

整理: ,

發(fā)現(xiàn):數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

得出:數(shù)列的通項公式 ,進(jìn)而得到

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬實驗,準(zhǔn)備用、、三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨,其試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:

方式

實施地點

大雨

中雨

小雨

模擬實驗總次數(shù)

4次

6次

2次

12次

3次

6次

3次

12次

2次

2次

8次

12次

假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響,請你根據(jù)人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù):

(Ⅰ)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率;

(Ⅱ)考慮到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài),乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài),丙地只能是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài),記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個數(shù)”為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

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(1)求x的取值范圍;

(2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù);

(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn),才能使供電費用最?

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(2)已知曲線與曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.

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