【題目】已知函數(shù)f(x)＝，其中x∈[2，＋∞)．

(1)求f(x)的最小值；

(2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍．

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:(1)先用定義法判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最小值;(2) f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，由(1)可得f(x)的最小值為,代入即可.

試題解析:

(1)f(x)＝x＋＋2，

任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).

∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4，∴1－＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

故f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)．∴當(dāng)x＝2時，f(x)取得最小值為.

(2)∵f(x)的最小值為，∴f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，即a＜.

故a的取值范圍為.

點睛:本題考查定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立問題轉(zhuǎn)化的求函數(shù)的最值. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當(dāng)時有.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若恒成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，，（為自然對數(shù)的底數(shù)）.是否存在常數(shù)，使恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）如果對于任意的，都有成立，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資所得不超過3500元的部分不必納稅，超過3500元的部分為全月應(yīng)納稅所得額。此項稅款按下表分段累計計算：

全月應(yīng)納稅所得額

稅率（％）

不超過1500元的部分

3

超過1500元至4500元的部分

10

超過4500元至9000元的部分

20

(1)某人10月份應(yīng)交此項稅款為350元，則他10月份的工資收入是多少？

(2)假設(shè)某人的月收入為元， ，記他應(yīng)納稅為元，求的函數(shù)解析式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題12分）甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間，他們參加的5項預(yù)賽成績記錄如下:

甲

82

82

79

95

87

乙

95

75

80

90

85

（1）從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙高的概率；

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認為選派哪位學(xué)生參加合適？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某DVD光盤銷售部每天的房租、人員工資等固定成本為300元，每張DVD光盤的進價是6元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：

銷售單價(元)

7

8

9

10

11

12

13

日均銷售量(張)

480

440

400

360

320

280

240

(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，寫出日均銷售量P(x)(張)關(guān)于銷售單價x(元)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；

(2)問這個銷售部銷售的DVD光盤銷售單價定為多少時才能使日均銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下:

甲商場:顧客轉(zhuǎn)動如圖所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中兩個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為，邊界忽略不計)即為中獎·

乙商場:從裝有2個白球、2個藍球和2個紅球的盒子中一次性摸出1球(這些球除顏色外完全相同)，它是紅球的概率是，若從盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2個相同顏色的球，即為中獎.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）試問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，求數(shù)列的通項公式．勤于思考的小紅設(shè)計了下面兩種解題思路，請你選擇其中一種并將其補充完整．

思路1：先設(shè)的值為1，根據(jù)已知條件，計算出_________， __________， _________．

猜想： _______.

然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．證明過程如下：

①當(dāng)時，________________，猜想成立

②假設(shè)（N*）時，猜想成立，即_______．

那么，當(dāng)時，由已知，得_________．

又，兩式相減并化簡，得_____________（用含的代數(shù)式表示）．

所以，當(dāng)時，猜想也成立．

根據(jù)①和②，可知猜想對任何N*都成立．

思路2：先設(shè)的值為1，根據(jù)已知條件，計算出_____________．

由已知，寫出與的關(guān)系式： _____________________，

兩式相減，得與的遞推關(guān)系式： ____________________．

整理： ____________．

發(fā)現(xiàn)：數(shù)列是首項為________，公比為_______的等比數(shù)列．

得出：數(shù)列的通項公式____，進而得到____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱的底面為正三角形，、、分別是、、的中點．

⑴若，求證：平面；

⑵若為中點，，四棱錐的體積為，求三棱錐的表面積．

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