Question

命題p：函數(shù)f（x）=log 

1

3

（x²-mx+3m）是區(qū)間[1，+∞）上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)f（x）=

4

3

x³-2mx²+（4m-3）x-m在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．若p∧q為假，p∨q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡易邏輯

分析：函數(shù)f(x)=log

1

3

(x2-mx+3m)是區(qū)間[1，+∞）上的減函數(shù)，可得

u(x)=x2-mx+3m是[1，+∞)上的增函數(shù) u(x)=x2-mx+3m＞0在[1，+∞)上恒成立

．由f'（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0對x∈R恒成立得△=（-4m）²-16（4m-3）≤0⇒1≤m≤3．由p∧q為假，p∨q為真，得p與q一真一假，

解答： 解：∵函數(shù)f(x)=log

1

3

(x2-mx+3m)是區(qū)間[1，+∞）上的減函數(shù)，
∴

u(x)=x2-mx+3m是[1，+∞)上的增函數(shù) u(x)=x2-mx+3m＞0在[1，+∞)上恒成立

，
∴

m 2 ≤1 u(1)＞0

，
∴-

1

2

＜m≤2．
即命題p真，則-

1

2

＜m≤2．
由f'（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0對x∈R恒成立，
得△=（-4m）²-16（4m-3）≤0⇒1≤m≤3，
即命題q真，則1≤m≤3．
由p∧q為假，p∨q為真，得p與q一真一假，
若p真q假時(shí)，則

- 1 2 ＜m≤2 m＜1或m＞3

⇒-

1

2

＜m＜1．
若p假q真時(shí)，則

m＞2或m≤- 1 2 1≤m≤3

⇒2＜m≤3．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法、二次函數(shù)與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題的真假判斷方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．