Question

一個盒子中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的4個大小、形狀完全相同的小球，現(xiàn)從中有放回地隨機(jī)抽取2個小球，抽取的球的編號分別記為x₁、x₂，記ξ=|x₁-1|+|x₂-2|．
（Ⅰ）求ξ取最大值的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）當(dāng)x₁=x₂=4時，ξ═|4-1|+|4-2|=5最大，由此能求出ξ取最大值的概率．
（Ⅱ）ξ=0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)在的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x₁=x₂=4時，ξ═|4-1|+|4-2|=5最大，
ξ取最大值的概率為：
P（ξ=5）=

1

16

．
（Ⅱ）ξ=0=|1-1|+|2-2|，
ξ=1=|1-1|+|1-2|=|1-1|+|3-2|=|2-1|+|2-2|，
ξ=2=|1-1|+|4-2|=|2-1|+|1-2|=|2-1|+|3-2|=|3-1|+|2-2|，
ξ=3=|2-1|+|4-2|=|3-1|+|4-2|=|3-1|+|3-2|=|4-1|+|2-2|，
ξ=4=|3-1|+|4-2|=|4-1|+|1-2|=|4-1|+|3-2|，
ξ=5=|4-1|+|4-2|，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 16	3 16	4 16	4 16	3 16	1 16

Eξ=0×

1

16

+1×

3

16

+2×

4

16

+3×

4

16

+4×

3

16

+5×

1

16

=

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識的靈活運(yùn)用．