Question

8．某校體育教師至少擅長(zhǎng)籃球和足球中的一項(xiàng)，現(xiàn)已知有5人擅長(zhǎng)籃球，2人擅長(zhǎng)足球，從該校的體育教師中隨機(jī)選出2人，設(shè)X為選出的2人中既擅長(zhǎng)籃球也擅長(zhǎng)足球的人數(shù)，已知P（X＞0）=$\frac{7}{10}$．
（Ⅰ）求該校的體育教師的人數(shù)；
（Ⅱ）求X的分布列并計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望與方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)既擅長(zhǎng)籃球也擅長(zhǎng)足球共有x人，則該校的體育教師有（7-x）人，那么只擅長(zhǎng)一項(xiàng)的人數(shù)為（7-2x）人，利用P（X＞0）=$\frac{7}{10}$，建立方程，即可求得該校的體育教師的人數(shù)；
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，計(jì)算概率，即可求得數(shù)學(xué)期望與方差．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)既擅長(zhǎng)籃球也擅長(zhǎng)足球共有x人，則該校的體育教師有（7-x）人，那么只擅長(zhǎng)一項(xiàng)的人數(shù)為（7-2x）人…（2分）
∵P（X＞0）=P（X≥1）=1-P（X=0）=$\frac{7}{10}$，∴1-$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{7}{10}$…（4分）
整理為：37x²-221x+294=0，∴x=2，
∴7-2=5，即體育教師有5人…（6分）
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{3}{10}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$；P（X=2）=$\frac{1}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$…（10分）
∴EX=0×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$…（12分）
DX=（0-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{10}$+（1-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{5}$+（2-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{25}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的概率與期望，解題的關(guān)鍵是正確求出概率，利用期望公式求解．