考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)連接A1B,A1B⊥AB1,D1A1⊥AB1.由AB1⊥A1B,AB1⊥D1A1,A1B和D1A1是面A1BD1內(nèi)的相交直線,所以AB1⊥面A1BD1,又BD1在面A1BD上,AB1⊥BD1,同理,AC⊥BD1.由此能夠證明BD1⊥面ACB1.
(2)三棱錐B-ACB1,也就是ABC為底,BB1為高的三棱錐.由此能求出三棱錐B-ACB1體積.
解答:
(1)證明:連接A
1B,在正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,
面A
1B
1BA是正方形,對角線A
1B⊥AB
1,
在正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,D
1A
1⊥面A
1B
1BA,AB
1在面A
1B
1BA上,
∴D
1A
1⊥AB
1,
∵AB
1⊥A
1B,AB
1⊥D
1A
1,
A1B和D
1A
1是面A
1BD
1內(nèi)的相交直線,
∴AB
1⊥面A
1BD
1,又BD
1在面A
1BD
1上,
∴AB
1⊥BD
1,同理,D
1D⊥面ABCD,
AC在面ABCD上,D
1D⊥AC,
在正方形ABCD中對角線AC⊥BD,
∵AC⊥D
1D,AC⊥BD,D
1D和BD是面BDD
1內(nèi)的相交直線,
∴AC⊥面BDD
1,又BD
1在面BDD
1上,
∴AC⊥BD
1,
∵BD
1⊥AB
1,BD
1⊥AC,
AB
1和AC是面ACB
1內(nèi)的相交直線
∴BD
1⊥面ACB
1.
(2)解:三棱錐B-ACB
1,也就是ABC為底,BB
1為高的三棱錐,
三棱錐B-ACB
1體積V=
×AB×AD×
BB
1=
×1×(
×1×1)=
. …(12分)
點評:本題考查線面垂直,考查幾何體的體積等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、運算求解能力.