【題目】已知位數(shù)滿足下列條件：①各個(gè)數(shù)字只能從集合中選取；②若其中有數(shù)字4,則在4的前面不含2.將這樣的n位數(shù)的個(gè)數(shù)記為

（1）求；

（2）探究與之間的關(guān)系,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）對于每個(gè)正整數(shù),在與之間插入個(gè)得到一個(gè)新數(shù)列,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,試探究能否成立？寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明.

【答案】(1) , ；(2) ；(3)不能成立,證明過程見解析.

【解析】

(1)根據(jù)已知分類討論可以計(jì)算出的值；

(2)根據(jù)已知分類討論可以求出與之間的關(guān)系,通過恒等變形可以轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列,最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)分別計(jì)算數(shù)列前6項(xiàng),可得,即可得了結(jié)論.

(1) 時(shí),若個(gè)位上數(shù)字是1，2，3時(shí),十位上的數(shù)字有四種選擇方法；

當(dāng)個(gè)位上數(shù)字是4時(shí)，十位上的數(shù)字中有三種選擇方法，因此；

時(shí),若個(gè)位上數(shù)字是1，2，3時(shí),每種情況下符合條件的數(shù)字都有種,

當(dāng)個(gè)位上數(shù)字是4時(shí)，十位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都有三種選擇方法,因此

.

所以,；

(2)當(dāng)n+1位數(shù)時(shí)，若個(gè)位上的數(shù)字是1，2，3時(shí),每種情況下符合條件的數(shù)字都有種,當(dāng)個(gè)位上數(shù)字是4時(shí)，其他數(shù)位上的數(shù)字都有三種選擇方法，因此

,變形為：,所以數(shù)列是以為首項(xiàng), 為公差的等差數(shù)列,即；

(3)由通項(xiàng)公式可知：

,故不成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限運(yùn)動，第一秒鐘內(nèi)它由原點(diǎn)移動到，而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向運(yùn)動，且每秒移動一個(gè)單位長度，那么2018秒后，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所處的位置的坐標(biāo)是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是，則（ ）

A.與有關(guān)，且與有關(guān)B.與有關(guān)，但與無關(guān)

C.與無關(guān)，且與無關(guān)D.與無關(guān)，但與有關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若的值域?yàn)?/span>，求的值；

(Ⅱ)巳，是否存在這祥的實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)g（x）=-2x+3．

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的極值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若-2≤a≤-1，對任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求實(shí)數(shù)t的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長均為2，點(diǎn)、分別在棱、上移動，且，.

（1）若，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小為，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且平面，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若，為線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，欲在一四邊形花壇內(nèi)挖一個(gè)等腰三角形的水池，且，已知四邊形中，是等腰直角三角形，米，是等腰三角形，，的大小為，要求的三個(gè)頂點(diǎn)在花壇的邊緣上（即在四邊形的邊上），設(shè)點(diǎn)到水池底邊的距離為，水池的面積為平方米.

（1）求的長；

（2）試將表示成關(guān)于的函數(shù)，并求出的最大值.

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