Question

20.（本小題滿分8分）如圖，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，∠ABC = 30°，PA = AB.       

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；

(2)求直線PC與平面ABC所成角的正切值；

(3)求二面角A—PB—C的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)證明：∵AB是直徑  ∴∠ACB = 90°，即BC⊥AC

∴PA⊥BC

∴BC⊥平面PAC  又BC平面PBC

∴平面PBC⊥平面PAC

   （2）∵PA⊥平面ABC

        ∴直線PC與平面ABC所成角即∠PCA

        設(shè)AC = 1，∵∠ABC = 30°∴PA = AB = 2

        ∴tan∠PCA = = 2

(3) 在平面PAC中作AD⊥PC于D，在平面PAB中作AE⊥PB于連結(jié)DE

   ∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC = PC，AD⊥PC

   ∴AD⊥平面PBC

   ∴AD⊥PB

   又∵PB⊥AE  ∴PB⊥面AED

   ∴PB⊥ED

   ∴∠DEA即為二面角A—PB—C的平面角

   在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中，

分別由等面積方法求得

   AD =   AE =

   ∴在直角三角形ADE中可求得：sin∠DEA =

   即二面角A—PB—C的正弦值為.

【解析】略