Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（2，-1）$，$\overrightarrow n=（sin\frac{A}{2}，cos（B+C））$，A，B，C為△ABC的內(nèi)角，其對應邊應為a，b，c．
（1）若A=120°，求$|\overrightarrow n|$的值；
（2）當$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取得最大值時，求角A的大��；
（3）在（2）成立的條件下，當$a=\sqrt{3}$時，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由A=120°，可得B+C=60°，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出$|\overrightarrow n|$；
（2）$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=-2$（sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的值域即可得出．
（3）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，利用基本不等式可得：b²+c²=3+$\sqrt{3}$bc≤3+$\sqrt{3}$×$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）∵A=120°，∴B+C=60°，
∴$|\overrightarrow n|$=$\sqrt{si{n}^{2}6{0}^{°}+co{s}^{2}6{0}^{°}}$=1；
（2）$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$2sin\frac{A}{2}$-cos（B+C）
=cosA+2$sin\frac{A}{2}$
=$1-2si{n}^{2}\frac{A}{2}$+2sin$\frac{A}{2}$
=-2$（sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，
當$sin\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0°，180°），A=30°時，$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取得最大值．
（3）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=3+$\sqrt{3}$bc≤3+$\sqrt{3}$×$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}$，
化為b²+c²≤$\frac{6}{2-\sqrt{3}}$=$12+6\sqrt{3}$，當且僅當b=c=6+3$\sqrt{3}$．
∴b²+c²的取值范圍是$（0，12+6\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)的基本關系式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．