Question

如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn)．現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面上分別寫(xiě)有兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字．質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B)；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C)，當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D)．在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過(guò)一圈，則投擲終止．

(1)求質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率；

(2)在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

 

Answer 1

【答案】

 (1)質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為：P＝P₂＋P₃＋P₄＝37/81.   

(2)Eξ＝19/7.          

【解析】本試題主要是考查了古典概型概率的計(jì)算公式，以及利用獨(dú)立事件的概率的乘法公式得到概率值，并且得到隨機(jī)變量各個(gè)取值的概率值，從而得到分布列和期望值。

（1）先分析實(shí)驗(yàn)中所有的基本事件，然后利用等可能時(shí)間的概率公式得到結(jié)論。同時(shí)要結(jié)合獨(dú)立試驗(yàn)的概率公式表示得到。

（2）利用第一問(wèn)中的結(jié)論，可知ξ的可能取值為2,3,4，然后分別得到各自的概率值，求解得到。

解析：(1)投擲一次正方體玩具，每個(gè)數(shù)字在上底面出現(xiàn)都是等可能的，其概率為P₁＝＝.

只投擲一次不可能返回到A點(diǎn)；若投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：(1,3)、(3,1)、(2,2)三種結(jié)果，其概率為P₂＝()²×3＝；

若投擲三次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的三個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三種結(jié)果，其概率為P₃＝()³×3＝；

若投擲四次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：(1,1,1,1)．其概率為P₄＝()⁴＝.

所以，質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為：P＝P₂＋P₃＋P₄＝＋＋＝.      6分

(2)由(1)知，質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問(wèn)題中的7種情況，且ξ的可能取值為2,3,4，

則P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，

所以，Eξ＝2×＋3×＋4×＝.