Question

設(shè)點(diǎn)F（，0）（p為正常數(shù)），點(diǎn)M在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)P在y軸上，且，．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)F且與曲線C相交于不同兩點(diǎn)A，B，分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線l₁：x=-的垂線，對(duì)應(yīng)的垂足分別為A₁，B₁，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記，，，λ=，求λ的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b）
由可得，x=-a，y=2b①
由可得②
①②聯(lián)立可得y²=2px（p＞0）
（2）由拋物線的定義可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
∴∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∴∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁=
即FA₁⊥FB₁∴=0
（3）設(shè)直線AB的方程為：x=ky+ A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程整理可得y²-2pky-p²=0
則y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p² x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ====
=


分析：（1）設(shè)N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b），由可得，x=-a，y=2b，由可得，從而可求x，y滿足的方程
（2）由拋物線的定義可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
從而有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
則有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁=
（3）設(shè)直線AB的方程為：x=ky+ A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程整理可得y²-2pky-p²=0
則y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p² x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ==代入整理可求
點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量向量的基本運(yùn)算為載體，重點(diǎn)考查了拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)的綜合運(yùn)用，解決本題（2）的關(guān)鍵是要熟練掌握拋物線的定義發(fā)現(xiàn)AF=AA₁，BF=BB₁，解決（3）時(shí)要注意設(shè)直線方程時(shí)為了避免討論斜率k的值是否存在，故可設(shè)直線AB的方程為：x=ky+