Question

9．已知f（x）=log_acos（2x-$\frac{π}{3}$）（其中a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）試確定f（x）的奇偶性和周期性．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得cos（2x-$\frac{π}{3}$）＞0，根據(jù)2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$ k∈Z，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）要使f（x）有意義，需滿足cos（2x-$\frac{π}{3}$）＞0，
∴2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，∴kπ-$\frac{π}{12}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$．k∈z
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|kπ-$\frac{π}{12}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}．
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間就是cos（2x-$\frac{π}{3}$）＞0時(shí)的增區(qū)間．
由 2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ+0，k∈z，可得 kπ-$\frac{π}{12}$＜x＜kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z，
故單調(diào)增區(qū)間是 （kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{6}$ ），k∈z．
由 2kπ＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得 kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈z，
故單調(diào)減區(qū)間是（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{5π}{12}$） （k∈Z）． 
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間就是cos（2x-$\frac{π}{3}$）＞0時(shí)的減區(qū)間，
f（x）的單調(diào)減區(qū)間就是cos（2x-$\frac{π}{3}$）＞0時(shí)的增區(qū)間．
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是 （kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{5π}{12}$） （k∈Z）． 
故f（x）單調(diào)減區(qū)間是 （kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{6}$ ），k∈z．
（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x|kπ-$\frac{π}{12}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}．
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，
f（x）是周期函數(shù)，最小正周期是 $\frac{2π}{2}$=π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，余弦函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的奇偶性，周期性及其求法，注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律：同增異減，屬于中檔題．