Question

已知圓C的方程為x²+y²+2x-6y-6=0，O為坐標原點．
（Ⅰ）求過點M（-5，11）的圓C的切線方程；
（Ⅱ）若圓C上有兩點P，Q關于直線x+my+4=0對稱，并且滿足

OP

•

OQ

=-7，求m的值和直線PQ的方程．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率,圓的切線方程

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓

分析：（Ⅰ）化圓的一般式方程為標準式，求出圓心坐標和半徑，然后分切線的斜率存在和不存在求解，當斜率不存在時直接寫出切線方程，斜率存在時，設出切線方程的點斜式，化為一般式，由圓心到切線的距離等于半徑求斜率，則曲線方程可求；
（Ⅱ）曲線x²+y²+2x-6y-6=0上有兩點P、Q，滿足關于直線x+my+4=0對稱，說明曲線是圓，直線過圓心，易求m的值；設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．聯(lián)立方程組，結合韋達定理，以及滿足

OP

•

OQ

=-7，求得k的方程，然后求直線PQ的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由圓C：x²+y²+2x-6y-6=0，得（x+1）²+（y-3）²=16，
∴圓C的圓心坐標C（-1，3），半徑為4，
當過點M的圓C的切線的斜率不存在時，圓的切線方程為x=-5；
當過點M的圓C的切線的斜率存在時，
設過點M的圓C的切線方程為y-11=k（x+5），即kx-y+5k+11=0．
由題意得：d=

|-k-3+5k+11|

k2+1

=4．
解得k=-

3

4

．
∴過點M的圓C的切線方程為y-11=-

3

4

（x+5），即3x+4y-29=0．
綜上，過點M的圓C的切線方程為x=-5或3x+4y-29=0；
（Ⅱ）曲線方程為（x+1）²+（y-3）²=16表示圓心為（-1，3），半徑為4的圓．
∵點P、Q在圓上且關于直線x+my+4=0對稱，
∴圓心（-1，3）在直線上．代入得m=-1．
∵直線PQ與直線y=x+4垂直，
∴設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．
將直線y=-x+b代入圓方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b-7=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b-7）＞0，得2-

34

＜b＜2+

34

．
由韋達定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=

b2-6b-7

2

．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=

b2

2

+b-

7

2

．
∵

OP

•

OQ

=-7，∴x₁x₂+y₁y₂=-7，
即b²-2b-7=-7．
解得b=0或2∈（2-

34

，2+

34

）．
∴所求的直線方程為y=-x或y=-x+2．

點評：本題考查了圓的切線方程的求法，考查直線與圓的方程的應用，直線的一般式方程，考查函數與方程的思想，是中檔題．