Question

已知函數f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+a（ω＞0）與g（x）=2cos（2x+φ）+1的圖象的對稱軸完全相同．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由題意，求出ω的值，即可求出f（x）的最小正周期T；
（2）由f（x）的解析式，求出f（x）的單調減區(qū)間；
（3）求出x∈[0，

π

2

]時，sin（2x+

π

6

）的最小值，即可求出f（x）的最小值，從而求得a的值．

解答： 解：（1）∵函數f（x）與g（x）圖象的對稱軸完全相同，
∴ω=2，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

ω

=

2π

2

=π；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

3

+2kπ≤2x≤

4

3

π+2kπ，k∈Z，
即

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z；
∴f（x）的單調減區(qū)間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z；
（3）當x∈[0，

π

2

]時，2x∈[0，π]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）有最小值為-

1

2

，
∴f（x）的最小值是2×（-

1

2

）+a=-2，
∴a=-1．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，解題時應熟記正弦、余弦函數的圖象與性質，是基礎題．