Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，0≤x≤1}\\{-{x}^{2}，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x圍成的封閉圖形的面積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先畫出函數(shù)圖象，找出函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x圍成的封閉圖形，利用定積分表示出其面積，然后計算即可．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x圍成的封閉圖形如圖陰影部分，
曲線y=2x-x²與直線y=x的交點坐標為（0，0），（1，1）
∴曲線y=-x²與直線y=x的交點為（0，0），（-1，-1），
所以函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x圍成的封閉圖形的面積為S=${∫}_{-1}^{0}（-{x}^{2}-x）dx+{∫}_{0}^{1}（2x-{x}^{2}-x）dx$=（-$\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}$）|${\;}_{-1}^{0}$+（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查定積分知識的運用，關鍵是畫出圖形，利用定積分表示封閉圖形的面積．