Question

（1）已知函數(shù)，且f（4）=3．判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明；
（2）已知函數(shù)y=lg（-x²+4x-3）的定義域?yàn)镸，求函數(shù)f（x）=4^x-2^x+3+4（x∈M）的值域．

Answer 1

解：（1）∵f（4）=3，∴4^m-1=3，解得，m=1，∴，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=
=（x₁-x₂）（1+）
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（2）由-x²+4x-3＞0得，x^2-4x+3＜0，解得1＜x＜3，即，
M={x|1＜x＜3}，又f（x）=4^x-2^x+3+4=（2^x）²-8×2^x+4
令t=2^x，∵x∈（1，3），∴t∈（2，8）
f（x）=g（t）=t²-8t+4 t∈（2，8）
由配方得，g（t）=（t-4）²-12 t∈（2，8）
∴f（x）_min=g（4）=-12 又g（8）=4
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-12，4）
分析：本題為函數(shù)問題，（1）為函數(shù)單調(diào)性的證明，用定義法，設(shè)值，作差，變形，判號，結(jié)論，五步曲（2）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間的最值問題即可．
點(diǎn)評：本題為函數(shù)問題，（1）為定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，（2）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．