Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求平面QBP與平面BPC的夾角余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求向量

CD

，

DQ

，

PQ

的坐標(biāo)，求

PQ

•

CD

，

PQ

•

DQ

，從而判斷出

PQ

⊥

CD

，

PQ

⊥

DQ

，這樣即可證明PQ⊥平面DCQ，這樣便可證明平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）根據(jù)平面的法向量和平面內(nèi)兩向量垂直，求出平面BPC和平面QBP的法向量，根據(jù)這兩法向量的夾角的余弦值求出這兩平面夾角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：由已知條件知，DA，DP，DC三條直線兩兩垂直，∴如圖，分別以DA，DP，DC所在直線為x軸，y軸，z軸建立D-xyz空間直角坐標(biāo)系，則可確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），D（0，0，0）；
∴

DQ

=(1，1，0)，

DC

=(0，0，1)，

PQ

=(1，-1，0)；
∴

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0，∴

PQ

⊥

DQ

，

PQ

⊥

DC

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，DQ∩DC=D；
∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC；
∴平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依題意知：B（1，0，1），∴

CB

=(1，0，0)，

BP

=(-1，2，-1)；
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面BPC的法向量，則

n • CB =0 n • BP =0

，即

x=0 -x+2y-z=0

，解得

x=0 z=2y

；
∴可取

n

=(0，1，2)；
同樣，設(shè)

m

=(x，y，z)是平面QBP的法向量，則：

m • BP =0 m • PQ =0

，即

-x+2y-z=0 x-y=0

，解得

x=z y=z

；
∴取

m

=(1，1，1)；
∴設(shè)平面QBP與平面BPC的夾角為θ，則cosθ=

m • n

| m || n |

=

3

5 3

=

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：考查建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法證明面面垂直，求兩平面夾角的方法，向量的數(shù)量積，及向量垂直的充要條件，平面法向量的概念，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．