Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=

sin π 2 x，x∈[-1，0) ax2+ax+1，x∈[0，+∞)

，若f（t-

1

3

）＞-

1

2

，則實數(shù)t的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x∈[-1，0）時，函數(shù)f（x）=sin

π

2

x單調(diào)遞增，且f（x）∈[-1，0），
當(dāng)x∈[0，+∞）時，函數(shù)f（x）=ax²+ax+1的對稱軸為x=-

1

2

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增且f（x）≥1，
綜上當(dāng)x∈[-1，+∞）時，函數(shù)單調(diào)遞增，
由f（x）=sin

π

2

x=-

1

2

得

π

2

x=-

π

6

，解得x=-

1

3

，
則不等式f（t-

1

3

）＞-

1

2

，等價為f（t-

1

3

）＞f（-

1

3

），
∵函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
∴t-

1

3

＞-

1

3

，
即t＞0，
故答案為：（0，+∞）

點評：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷分段函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．