Question

已知y=f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（x+2）+2f（-x）=0，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f(x)=Inx-ax(a＞

1

2

)，當(dāng)x∈（-4，-2），f（x）的最大值為-

1

4

，則a=（　�。�

• A．4
• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由f（x）為奇函數(shù)可得f（x+2）-2f（x）=0，即f（x+2）=2f（x），從而可得f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），則f（x）=

1

4

f（x+4），當(dāng)x∈（-4，-2）時(shí)，（x+4）∈（0，2），從而可求得f（x）表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)即可求得f（x）的最大值，令其為-

1

4

，即可解得．

解答：解：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，
所以f（x+2）+2f（-x）=0即f（x+2）-2f（x）=0，則f（x+2）=2f（x），f（x+4）=2f（x+2），
所以f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4），
當(dāng)x∈（-4，-2）時(shí)，（x+4）∈（0，2），此時(shí)f（x）=

1

4

f（x+4）=

1

4

[ln（x+4）-a（x+4）]，
則f′（x）=

1

4

（

1

x+4

-a）=-

a(x+4- 1 a )

4(x+4)

，當(dāng)-4＜x＜-4+

1

a

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，當(dāng)-4+

1

a

＜x＜-2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以當(dāng)x=-4+

1

a

時(shí)f（x）取得最大值-

1

4

，即f（-4+

1

a

）=

1

4

(ln

1

a

-a×

1

a

)=-

1

4

，解得a=1，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，考查函數(shù)最值的求解，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．