在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點(diǎn),若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.
分析:(Ⅰ)先利用F2是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn)求出F2的坐標(biāo),再利用|MF2|=
5
3
以及拋物線的定義求出點(diǎn)M的坐標(biāo),可以得到關(guān)于橢圓方程中參數(shù)的兩個(gè)等式聯(lián)立即可求C1的方程;
(Ⅱ)先利用
MN
=
MF1
+
MF2
,以及直線l∥MN得出直線l與OM的斜率相同,設(shè)出直線l的方程,把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)的等式,整理代入
OA
OB
=0
,即可求出直線l的方程.
解答:解:(Ⅰ)由C2:y2=4x知F2(1,0).
設(shè)M(x1,y1),M在C2上,因?yàn)?span id="ogcw2ks" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|MF2|=
5
3
,
所以x1+1=
5
3
,得x1=
2
3
,y1=
2
6
3
.M在C1上,且橢圓C1的半焦距c=1,
于是
4
9a2
+
8
3b2
=1
b2=a2-1.

消去b2并整理得9a4-37a2+4=0,解得a=2(a=
1
3
不合題意,舍去).
故橢圓C1的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由
MF1
+
MF2
=
MN
知四邊形MF1NF2是平行四邊形,其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,
因?yàn)閘∥MN,所以l與OM的斜率相同,
故l的斜率k=
2
6
3
2
3
=
6
.設(shè)l的方程為y=
6
(x-m)

3x2+4y2=12
y=
6
(x-m)

消去y并化簡得9x2-16mx+8m2-4=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=
16m
9
,x1x2=
8m2-4
9

因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
OA
OB
,所以x1x2+y1y2=0.
x1x2+y1y2
=x1x2+6(x1-m)(x2-m)
=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2
=7•
8m2-4
9
-6m•
16m
9
+6m2
=
1
9
(14m2-28)=0

所以m=±
2
.此時(shí)△=(16m)2-4×9(8m2-4)>0,
故所求直線l的方程為y=
6
x-2
3
,或y=
6
x+2
3
點(diǎn)評:本題是對橢圓與拋物線以及直線與橢圓位置關(guān)系的綜合考查.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,由于集中交匯了直線,圓錐曲線兩章的知識(shí)內(nèi)容,綜合性強(qiáng),能力要求高,還涉及到函數(shù),方程,不等式,平面幾何等許多知識(shí),可以有效的考查函數(shù)與方程的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想,因此,這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).
練習(xí)冊系列答案
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在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2)和點(diǎn)Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個(gè)m的值;若不存在,請說明理由.

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x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
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(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個(gè)焦分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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