Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為

x=tcosθ y=1+tsinθ

(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過配方即可得到圓心的參數(shù)方程，再消去參數(shù)即可得到其普通方程．
（Ⅱ）由于直線上的一點(diǎn)P（0，1）也是圓M的圓心的軌跡橢圓

x2

4

+y2=1的短軸的上頂點(diǎn)，據(jù)參數(shù)方程再設(shè)此橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（2cosα，sinα），
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到弦長|PQ|是關(guān)于sinα的二次函數(shù)，利用其單調(diào)性即可求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵圓M的方程為x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α為參數(shù)），
配方得（x-2cosα）²+（y-sinα）²=1，
∴圓M的圓心（x，y）的軌跡C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)），
變?yōu)?span id="y3bwwnd" class="MathJye">

x

2

=cosα，y=sinα，
將上兩式分別平方相加得

x2

4

+y2=1，
∴圓心（x，y）的軌跡C為：焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是2，短半軸長是1的橢圓．
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為

x=tcosθ y=1+tsinθ

(t為參數(shù)），
令t=0，則x=0，y=1，∴（0，1）在直線l上，并且是圓M的圓心的軌跡橢圓

x2

4

+y2=1的短軸的上頂點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P（2cosα，sinα）是直線l與橢圓相交的另一個(gè)交點(diǎn)，
則弦長|PQ|的平方|PQ|²=（2cosα-0）²+（sinα-1）²=-3sin²α-2sinα+5
=-3(sinα+

1

3

)2+

16

3

，
∵-1≤sinα≤1，∴當(dāng)sinα=-

1

3

時(shí)，上式的最大值為

16

3

．
即弦長|PQ|的最大值為

4 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了曲線的參數(shù)方程化為普通方程及其參數(shù)的意義，正確利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最值和理解參數(shù)得意義是解題的關(guān)鍵．