Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a，
（1）若f（x）≥0在R上恒成立，求a的取值范圍；
（2）若f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于f（x）≥0在R上恒成立，則需滿足△≤0，解之即可得到a的取值范圍；
（2）要使不等式f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，只需求出函數(shù)f（x）=x²-2ax+a在x∈[1，4]時(shí)的最小值，使最小值≥0即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2ax+a．
∵f（x）≥0在R上恒成立，
∴△≤0，即4a²-4a≤0，解得0≤a≤1．
則a的取值范圍為[0，1]； 
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+a=（x-a）²-a²+a，
∵f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，∴f（x）min≥0，
①當(dāng)1＜a＜4時(shí)，f（x）min=f（a）=a-a²≥0，解得0≤a≤1，所以此解不符合題意，舍去．
②當(dāng)a≥4時(shí)，f（x）在[1，4]上遞減，則f（x）min=f（4）=16-7a≥0，解得a≤$\frac{16}{7}$，所以此解不符合題意，舍去．
③當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在[1，4]上遞增，則f（x）min=f（1）=1-a≥0，則a≤1．
 綜上可知，a的取值范圍（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問(wèn)題，其中將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值大于或等于0，是解答的關(guān)鍵．