Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；
（2）是否存在正整數(shù)m，使得a₁，a_m，a₄₀成等比數(shù)列？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₅+a₁₃=34，S₃=9得

a5+a13=34 3a2=9

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．
（2）要使a₁，a_m，a₄₀成等比數(shù)列，必須（2m-1）²=1×（2×40-1）=79，因?yàn)?9不是完全平方數(shù)，故不存在正整數(shù)m，使得a₁，a_m，a₄₀成等比數(shù)列．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₅+a₁₃=34，S₃=9．
∴

a5+a13=34 3a2=9

，…（2分）
即

a1+8d=17 a1+d=3

，
得：a₁=1，d=2，…．（4分）
故a_n=2n-1，Sn=n2，…（6分）
（2）要使a₁，a_m，a₄₀成等比數(shù)列，
必須am2=a1a40，
即（2m-1）²=1×（2×40-1）=79，…..（9分）
因?yàn)?9不是完全平方數(shù)，故方程（2m-1）²=79無(wú)正整數(shù)解，
因此不存在正整數(shù)m，
使得a₁，a_m，a₄₀成等比數(shù)列…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力和論證推理能力，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．