Question

在“十一”期間，某電器專賣店設(shè)計(jì)了一項(xiàng)家用小型空調(diào)有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，每購買一臺(tái)空調(diào)，即可通過電腦產(chǎn)生一組3個(gè)數(shù)的隨機(jī)數(shù)組，并根據(jù)下表兌獎(jiǎng)：

獎(jiǎng)次	一等獎(jiǎng)	二等獎(jiǎng)	三等獎(jiǎng)
隨機(jī)數(shù)組特征	3個(gè)8或3個(gè)1	只有2個(gè)8或只有2個(gè)1	只有一個(gè)8或只有1個(gè)1
獎(jiǎng)金（單位：元）	4m	2m	m

商家為了解計(jì)劃的可行性，以便估計(jì)獎(jiǎng)金數(shù)，進(jìn)行了隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，每組三個(gè)數(shù)，試驗(yàn)結(jié)果如下：247，235，145，124，754，353，296，658，379，011，521，356，208，954，245，364，135，888，357，265．
（Ⅰ）在以上20組數(shù)中，隨機(jī)抽取3組數(shù)，求至少有一組獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）根據(jù)上述模擬試驗(yàn)的結(jié)果，將頻率視為概率：
①若活動(dòng)期間，某人購買3臺(tái)空調(diào)，求恰好有一臺(tái)中獎(jiǎng)的概率；
②若本次活動(dòng)計(jì)劃平均每臺(tái)空調(diào)的獎(jiǎng)金不超過300元，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用對(duì)立事件的概率，即可求出隨機(jī)抽取3組數(shù)，至少有1組獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）①求出每購買一臺(tái)空調(diào)獲獎(jiǎng)的概率，利用相互獨(dú)立事件概率公式，可求恰好有一臺(tái)中獎(jiǎng)的概率；
②設(shè)ξ為獲得獎(jiǎng)金的數(shù)額，則ξ的可能取值為0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活動(dòng)平均每臺(tái)電視的獎(jiǎng)金不超過300元，即可求m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“在以上模擬的20組數(shù)中，隨機(jī)抽取3組數(shù)，至少有1組獲獎(jiǎng)”為事件A，則
由數(shù)組知，沒中獎(jiǎng)的組數(shù)為12，∴P（A）=1-

C 3 12

C 3 20

=

46

57

（Ⅱ）①由題意得，每購買一臺(tái)空調(diào)獲獎(jiǎng)的概率為P=

8

20

=

2

5

，
設(shè)“購買3臺(tái)空調(diào)，恰有一臺(tái)獲獎(jiǎng)”為事件B，則P（B）=

C

1 3

•

2

5

•(

3

5

)2=

54

125

．
②設(shè)“購買一臺(tái)空調(diào)獲一等獎(jiǎng)”為事件A₁，“購買一臺(tái)空調(diào)獲二等獎(jiǎng)”為事件A₂，“購買一臺(tái)空調(diào)獲三等獎(jiǎng)”為事件A₃，則P（A₁）=

1

20

，P（A₂）=

1

20

，P（A₃）=

6

20

設(shè)ξ為購買一臺(tái)空調(diào)獲得獎(jiǎng)金是數(shù)額，則ξ的可能取值為0，m，2m，4m，則ξ的分布列為

ξ	0	m	2m	4m
P	12 20	6 20	1 20	1 20

∴Eξ=0+

6m

20

+

2m

20

+

4m

20

=

3

5

m
∵Eξ=

3

5

m≤300，
∴m≤50，
∴m的最大值為500．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．