【題目】如圖在四棱錐中,側棱平面,底面是直角梯形,,,,,為側棱中點.
(1)設為棱上的動點,試確定點的位置,使得平面平面,并寫出證明過程;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)當為中點時,滿足平面平面;證明見解析(2)
【解析】
(1)當為中點時,滿足平面平面,在梯形中,可得,,即四邊形為平行四邊形,得到,在中,根據(jù)、為中點,得到,再利用面面平行的判定定理得證.
(2)根據(jù)、、兩兩垂直,分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系,分別求得平面和平面的一個法向量,利用二面角的向量公式求解.
(1)當為中點時,滿足平面平面,
證明如下:
在梯形中,因為,,,
所以,,
即四邊形為平行四邊形,所以,即平面,
在中,因為、分別為、中點,所以,即平面.
又因為,平面,平面,
所以平面平面.
(2)由題知、、兩兩垂直,如圖,
分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系.
則,,,,,,,
設平面的一個法向量為,
則,所以,所以
又知平面,所以平面的一個法向量為,
所以,
由圖可知二面角是鈍角
所以二面角的余弦值為.
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【題目】設函數(shù),.
(1)若(其中)
(。┣髮崝(shù)t的取值范圍;
(ⅱ)證明:;
(2)是否存在實數(shù)a,使得在區(qū)間內(nèi)恒成立,且關于x的方程在內(nèi)有唯一解?請說明理由.
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【題目】下列說法中,正確的有______.
①回歸直線恒過點,且至少過一個樣本點;
②根據(jù)列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出,而,則有的把握認為兩個分類變量有關系,即有的可能性使得“兩個分類變量有關系”的推斷出現(xiàn)錯誤;
③是用來判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量,當的值很小時可以推斷兩類變量不相關;
④某項測量結果服從正態(tài)分布,則,則.
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【題目】實驗中學從高二級部中選拔一個班級代表學校參加“學習強國知識大賽”,經(jīng)過層層選拔,甲、乙兩個班級進入最后決賽,規(guī)定回答1個相關問題做最后的評判選擇由哪個班級代表學校參加大賽.每個班級6名選手,現(xiàn)從每個班級6名選手中隨機抽取3人回答這個問題已知這6人中,甲班級有4人可以正確回答這道題目,而乙班級6人中能正確回答這道題目的概率每人均為,甲、乙兩班級每個人對問題的回答都是相互獨立,互不影響的.
(1)求甲、乙兩個班級抽取的6人都能正確回答的概率;
(2)分別求甲、乙兩個班級能正確回答題目人數(shù)的期望和方差、,并由此分析由哪個班級代表學校參加大賽更好?
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,設點在曲線上,點在曲線上,且為正三角形.
(1)求點,的極坐標;
(2)若點為曲線上的動點,為線段的中點,求的最大值.
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【題目】如圖在四棱錐中,側棱平面,底面是直角梯形,,,,,為側棱中點.
(1)設為棱上的動點,試確定點的位置,使得平面平面,并寫出證明過程;
(2)求點到平面的距離.
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【題目】(本小題滿分12分,(1)小問7分,(2)小問5分)
設函數(shù)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點處的切線方程;
(2)若在上為減函數(shù),求的取值范圍。
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【題目】比較甲、乙兩名學生的數(shù)學學科素養(yǎng)的各項能力指標值(滿分為5分,分值高者為優(yōu)),繪制了如圖1所示的六維能力雷達圖,例如圖中甲的數(shù)學抽象指標值為4,乙的數(shù)學抽象指標值為5,則下面敘述正確的是( )
A. 乙的邏輯推理能力優(yōu)于甲的邏輯推理能力
B. 甲的數(shù)學建模能力指標值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標值
C. 乙的六維能力指標值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標值整體水平
D. 甲的數(shù)學運算能力指標值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標值
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【題目】已知坐標平面上動點與兩個定點, ,且.
(1)求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中軌跡為,過點的直線被所截得的線段長度為8,求直線的方程.
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