Question

已知四棱錐P-ABCD如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．其中E是PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求此四棱錐的體積；
（Ⅱ）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅲ）求證：AE⊥PC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先求底面面積，由棱錐的體積公式即可求值；
（Ⅱ）先證明EO∥PB，又由EO?平面ACE，PB?平面ACE，即可證明PB∥平面ACE；
（Ⅲ）先證明CD⊥AD，再證明AE⊥CD，有AE⊥PD，從而可證AE⊥平面PCD，由PC?平面PCD，從而可證AE⊥PC．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，其面積S_ABCD=2×2=4，高h(yuǎn)=2，
所以V_P-ABCD=

1

3

×4×2=

8

3

，（4分）
（Ⅱ）由三視圖可知，ABCD是正方形，連接AC、BD交于點(diǎn)O，則O是BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，
所以EO是三角形PBD的中位線，
所以EO∥PB，又EO?平面ACE，
PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE；                    （8分）
（Ⅲ）由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA        （9分）
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD                        （10分）
又∵PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD          （12分）
又∵△PAD是等腰直角三角形，E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD
又∵PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD
∴AE⊥平面PCD，（13分）
又∵PC?平面PCD
∴AE⊥PC                                       （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．