Question

已知等比數(shù)列{b_n}的公比為3，數(shù)列{a_n}滿足b_n=3 an，n∈N^*，且a₁=1．
（1）判斷{a_n}是何種數(shù)列，并給出證明；
（2）若C_n=

1

anan+1

，T_n是數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和，求使得T_n＜

m

30

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．b_n=3an=3ⁿ，從而a_n=n，由此得到{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法有求出使得T_n＜

m

30

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小m值為30．

解答： 解：（1）{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
證明如下：
等比數(shù)列{b_n}的公比為3，數(shù)列{a_n}滿足b_n=3 an，n∈N^*，且a₁=1．
∴b1=3a1=3，
b2=3a2=32，∴a₂=2，
b_n=3an=3ⁿ，∴a_n=n，
∴a_n+1-a_n=n+1-n=1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）∵c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，
∵T_n＜

m

30

對(duì)所有n∈N^*都成立，
∴

m

30

≥1，解得m≥30．
∴使得T_n＜

m

30

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小m值為30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列的判斷與證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的最小值的求法，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．