Question

四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?

Answer 1

四邊形ABCD是矩形

【錯(cuò)解分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量，易忽視如下兩點(diǎn)：（1）在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系。
【正解】四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)橐环矫妫?br />由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)^２＝（с＋ｄ）²
即｜ａ｜^２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜^２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，
∴｜ａ｜^２＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｄ｜^２①
同理有｜ａ｜^２＋｜ｄ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｂ｜^２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜
即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等
∴四邊形ABCD是平行四邊形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，
代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。
綜上所述，四邊形ABCD是矩形。
【點(diǎn)評(píng)】向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視。基于這一點(diǎn)解決向量有關(guān)問題時(shí)要樹立起數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的解題思路。