Question

已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，求證：順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形為矩形．

Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)三角形的中位線定理首先可以證明：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形．再根據(jù)對(duì)角線互相垂直，即可證明平行四邊形的一個(gè)角是直角，則有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．

解答： 解：如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
∴EH∥FG∥BD，EF=FG=

1

2

BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=

1

2

AC，
故四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF=90°
∴四邊形EFGH是矩形．

點(diǎn)評(píng)：能夠根據(jù)三角形的中位線定理證明：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形；順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形．