Question

設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若對任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤k（k＞0），則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“k度和諧函數(shù)”，[a，b]稱為“k度密切區(qū)間”．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=

mx-1

x

在[

1

e

，e]上是“e度和諧函數(shù)”，則m的取值范圍是（　　）

• A、[-e-1，1]
• B、[-1，e+1]
• C、[

  1

  e

  -e，1+e]
• D、[

  1

  e

  +1-e，1+e]

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：計算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由“e度和諧函數(shù)”，得到對任意的x∈[

1

e

，e]，都有|f（x）-g（x）|≤e，化簡整理得m-e≤lnx+

1

x

≤m+e，
令h（x）=lnx+

1

x

（

1

e

≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m-e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=

mx-1

x

在[

1

e

，e]上是“e度和諧函數(shù)”，
∴對任意的x∈[

1

e

，e]，都有|f（x）-g（x）|≤e，
即有|lnx+

1

x

-m|≤e，即m-e≤lnx+

1

x

≤m+e，
令h（x）=lnx+

1

x

（

1

e

≤x≤e），h′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
x＞1時，h′（x）＞0，x＜1時，h′（x）＜0，
x=1時，h（x）取極小值1，也為最小值，
故h（x）在[

1

e

，e]上的最小值是1，最大值是e-1．
∴m-e≤1且m+e≥e-1，
∴-1≤m≤e+1．
故選B．

點評：本題考查新定義及運用，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，注意運用導數(shù)求解，是一道中檔題．