(海南寧夏卷理21)設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為

(1)求的解析式;

(2)證明:曲線的圖像是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心;

(3)證明:曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值,并求出此定值。

【試題解析】(Ⅰ),

于是

解得

,故

    (II)證明:已知函數(shù)都是奇函數(shù),

所以函數(shù)也是奇函數(shù),其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對稱圖形。

而函數(shù)

可知,函數(shù)的圖像按向量a=(1,1)平移,即得到函數(shù)的圖象,故函數(shù)的圖像是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對稱圖形。

(III)證明:在曲線上任一點(diǎn).

知,過此點(diǎn)的切線方程為.

,切線與直線交點(diǎn)為.

,切線與直線交點(diǎn)為.

直線與直線的交點(diǎn)為(1,1).

從而所圍三角形的面積為.

所以, 所圍三角形的面積為定值2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(海南寧夏卷理21)設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為

(1)求的解析式;

(2)證明:曲線的圖像是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心;

(3)證明:曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值,并求出此定值。

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