Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A(1，0)、B(0，-2)，點(diǎn)C滿足=α+β，其中α、β∈R，α-2β=1．

(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)c的軌跡與雙曲線=1(a＞0，b＞0)交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，求證：為定值；

(3)在(2)的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實(shí)軸長的取值范圍．

Answer 1

(1)解設(shè)C(x，y)，，(x，y)=α(1，0)+β（0，-2）

∴

∵α-2β=1即x+y=1.即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y=1

(2)由得：

(b²-a²)x²+2a²x-a²-a²b²=0

題意得b²-a²≠0.

設(shè)M(x₁，y₁)、N(x₂,y₂)，

則x₁+x₂=，x₁·x₂=

因?yàn)橐訫N為直徑的圓過原點(diǎn)，=0，即

x₁x₂+y₁y₂=0

∴x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=1-(x₁+x₂)+2x₁x₂=1+

即b²-a²-2a²b²=0．∴=2為定值

(3)∵e≤   ∴≤3

∵=2   ∴b²=

∴1+≤3即1-2a²≥

∴0＜a≤從而0＜2a≤1

∴雙曲線實(shí)軸長的取值范圍是(0，1].