Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，點(diǎn)MN分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面A₁ACC₁
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面ACM的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用線線平行證明線面平行，MN∥AC₁，又∵M(jìn)N?平面A₁ACC₁，A₁C?平面A₁ACC₁，∴MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）利用等體積法求線面距．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：連接B₁M，AC₁，…（1分）
由已知得四邊形ABB₁A₁是矩形，
∴A，M，B₁三點(diǎn)共線且M是AB₁的中點(diǎn)，
又∵N是B₁C₁的中點(diǎn)，
∴MN∥AC₁．                       …（4分）
又∵M(jìn)N?平面A₁ACC₁，A₁C?平面A₁ACC₁，
∴MN∥平面A₁ACC₁．            …（6分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B到平面ACM的距離為h．
由已知得AC⊥平面ABB₁A₁，∴AC⊥AM．
∵AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，
∴AM=

1

2

AB₁=

1

2

×2

2

=

2

．∴S_△ACM=

1

2

AC•AM=

1

2

×2×

2

=

2

．
∵AA₁=2，M是為A₁B的中點(diǎn)，AA₁⊥平面ABC，
∴點(diǎn)M到平面ABC的距離是1，S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×2×2=2．…（9分）
∵V_B-ACM=V_M-ABC，∴

1

3

S_△ACM•h=

1

3

S_△ABC×1，∴h=

S△ABC

S△ACM

=

2

2

=

2

．
∴點(diǎn)B到平面ACM的距離是

2

．                              …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行即線面距，同時(shí)考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于中檔題．