已知A、B、C是橢圓上的三點，其中點A的坐標(biāo)為，BC過橢圓m的中心，且

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點P，Q，

設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點，且，求實數(shù)t的取值范圍．

 

【答案】

（1）（2）t∈（－2，4）

【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將 轉(zhuǎn)化為kDN•k=-1進(jìn)行求解.

(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)和向量的數(shù)量積為零得到a,b的值，得到橢圓的方程。

(2)設(shè)出直線與橢圓聯(lián)立方程組，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，和向量的等式得到參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而利用判別式得到范圍。

解（1）∵過（0，0）

則

∴∠OCA=90°，  即  又∵

將C點坐標(biāo)代入得 

解得  c2=8，b2=4

∴橢圓m： 

（2）由條件D（0，－2）  ∵M(jìn)（0，t）

1°當(dāng)k=0時，顯然－2<t<2 

2°當(dāng)k≠0時，設(shè)

   消y得

由△>0  可得     ①

設(shè)

則    

∴  

由 

∴   ②

∴t>1  將①代入②得   1<t<4

∴t的范圍是（1，4）

綜上t∈（－2，4） 

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三點，其中點A的坐標(biāo)為(2
3
，0)，BC過橢圓M的中心，且
AC
•
BC
=0，|
BC
|=2|
AC
|．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點（0，t）的直線l（斜率存在時）與橢圓M交于兩點P、Q，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點，且|
DP
|=|
DQ
|，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知A，B，C是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三點，其中點A的坐標(biāo)為(2
3
，0)，BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求點C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E上存在兩點P，Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量
PQ
與
AB
是否共線，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C是橢圓m：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三點，其中點A的坐標(biāo)為（2
3
，0），BC過橢圓m的中心，且
AC
•
BC
=0，且|
BC
|=2|
AC
|．
（1）求橢圓m的方程；
（2）過點M（0，t）的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點P，Q，設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點，且|
DP
|=|
DQ
|．求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知A、B、C是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的三點，，BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．則橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）已知A，B，C是橢圓W：
x24
+y2=1上的三個點，O是坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）當(dāng)點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
（Ⅱ）當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

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