Question

4．S₁、S₂、S₃為非空整數(shù)集合，對應(yīng)1、2、3的任意一個排列i、j、k，若x∈S_i，y∈S_j，則y-x∈S_k
（1）證明：3個集合中至少有兩個相等
（2）3個集合中是否可能有兩個集合無公共元素？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，若x∈S_i，y∈S_j，則y-x∈S_k，從而（y-x）-y=-x∈S_i，這便說明S_i中有非負元素，從而三個集合中都有非負元素．可以看出若0∈S_i，任意x∈S_j，都有x-0=x∈S_k，從而說明S_j⊆S_k，而同理可得到S_k⊆S_j，從而便可得出S_j=S_k，這便得出3個集合中至少有兩個相等，從而來證明在三個集合中有一個集合含有0即可，可用反證法，即假設(shè)三個集合都不含0，然后推出矛盾即可；
（2）3個集合中可能有兩個集合無公共元素，只需舉一個這樣的例子即可．

解答 解：（1）證明：若x∈S_i，y∈S_j，則y-x∈S_k，從而（y-x）-y=-x∈S_i，所以S_i中有非負元素；
由i，j，k的任意性可知三個集合中都有非負元素；
若三個集合都沒有0，則取S₁∪S₂∪S₃中最小的正整數(shù)a（由于三個集合中都有非負整數(shù)，所以這樣的a存在）；
不妨設(shè)a∈S₁，取S₂∪S₃中的最小正整數(shù)b，并不妨設(shè)b∈S₂，這時b＞a（否則b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0∈S₃，矛盾）；
但是，這樣就導(dǎo)致了0＜b-a＜b，且b-a∈S₃，這時與b為S₂∪S₃中的最小正整數(shù)矛盾；
∴三個集合中必有一個集合含有0．
∵三個集合中有一個集合含有0，不妨設(shè)0∈S₁，則對任意x∈S₂，有x-0=x∈S₃；
∴S₂包含于S₃；
對于任意y∈S₃，有y-0=y∈S₂；
∴S₃包含于S₂，則S₂=S₃；
綜上所述，這三個集合中必有兩個集合相等；
（2）可能；
比如S₁={奇數(shù)}，S₂={奇數(shù)}，S₃={偶數(shù)}；
這時S₁∩S₃=∅．

點評 考查對若x∈S_i，y∈S_j，則y-x∈S_k，其中i，j，k是1，2，3的任意一個排列的理解和應(yīng)用，子集的概念及集合相等的概念，反證法的運用，并且知道在直接證明不好證的情況下可考慮用反證法．