【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線方程為,求的值;
(2)求函數(shù)的極值點(diǎn);
(3)設(shè),若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值.
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),無極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)是,無極大值點(diǎn);(3).
【解析】
(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,得到關(guān)于、的一個(gè)方程,再由處的切線方程為得出切點(diǎn)坐標(biāo),由切點(diǎn)在曲線上得到關(guān)于、的方程,聯(lián)立關(guān)于、的方程的兩個(gè)方程組即可.
(2)先求出導(dǎo)函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)極值的定義求出即可.
(3)化簡得由不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立,只需,通過討論的范圍,求出即可.
(1)由得
由已知可得:即
(2)
所以:當(dāng),即時(shí),在上為增函數(shù),無極值點(diǎn)
當(dāng),即時(shí),
則有:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
在為減函數(shù),在上為增函數(shù),
所以,是極小值點(diǎn),無極大值點(diǎn);
綜上可知:當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值點(diǎn),
當(dāng)時(shí),函數(shù)的極小值點(diǎn)是,無極大值點(diǎn)
(3)
由題意知:當(dāng)時(shí),恒成立
又不等式等價(jià)于:,即
即 ①
①式等價(jià)于
由知,
令,則原不等式即為:
又在上為增函數(shù)
所以,原不等式等價(jià)于:, ②
又②式等價(jià)于,即:
設(shè),
在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),
又
當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù),在上為減函數(shù)
要使原不等式恒成立,須使,
當(dāng)時(shí),則在上為減函數(shù),
要使原不等式恒成立,須使,
時(shí),原不等式恒成立
綜上可知:的取值范圍是,的最小值為
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【題目】已知四棱錐中,平面平面,,,,,為棱上一動點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,問是否存在點(diǎn)E,使得二面角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)E的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知長方體,,,,已知P是矩形內(nèi)一動點(diǎn),與平面所成角為,設(shè)P點(diǎn)形成的軌跡長度為,則_________;當(dāng)的長度最短時(shí),三棱錐的外接球的表面積為_____________.
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【題目】如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)D,E分別是線段BC,上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且.則下列說法正確的是( )
A.平面
B.該三棱柱的外接球的表面積為
C.異面直線與所成角的正切值為
D.二面角的余弦值為
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【題目】線段AB為圓O的直徑,點(diǎn)E,F在圓O上,AB//EF,矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直,且.則( )
A.DF//平面BCE
B.異面直線BF與DC所成的角為30°
C.△EFC為直角三角形
D.
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【題目】如圖,四棱錐的底面為平行四邊形,底面,,,,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若E是側(cè)棱上的一點(diǎn),且與底面所成的是為45°,求二面角的余弦值.
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【題目】設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
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【題目】第41屆世界博覽會于2010年5月1日至10月31日,在中國上海舉行,氣勢磅礴的中國館——“東方之冠”令人印象深刻,該館以“東方之冠,鼎盛中華,天下糧倉,富庶百姓”為設(shè)計(jì)理念,代表中國文化的精神與氣質(zhì).其形如冠蓋,層疊出挑,制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗狀的主體建筑,總高度為60.3米,上方的“斗冠”類似一個(gè)倒置的正四棱臺,上底面邊長是139.4米,下底面邊長是69.9米,則“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角約為( ).
A.B.C.D.
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