已知函數(shù)f(x)對一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．


(1)證明　顯然f(x)的定義域是R，它關(guān)于原點對稱．

在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，

得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y(tǒng)＝0，

得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，

∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數(shù)．

(2)解　由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函數(shù)，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年

產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．

(1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)＝alog2x－blog3x＋2，若f＝4，則f(2 011)的值為_____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知對任意x∈R，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值

范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)且f(x)＋g(x)＝(x≠±1)，則f(－3)＝________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


函數(shù)f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是________________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內(nèi)單調(diào)遞增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離

與乙從家到公園的距離都是2 km，甲10時出發(fā)前往乙家．如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達乙家為止經(jīng)過的路程y(km)與時間x(分)的關(guān)系．試寫出y＝f(x)的函數(shù)解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知a，t為正實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a，且對任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[－a，a]．若對每一個正實數(shù)a，記t的最大值為g(a)，則函數(shù)g(a)的值域為      ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案