Question

已知曲線C：

y2

λ

+x²=1．
（Ⅰ）由曲線C上任一點E向x軸作垂線，垂足為F，動點P滿足

FP

=3

EP

，求P的軌跡方程，點P的軌跡可能是圓嗎？請說明理由；
（Ⅱ）如果直線l的斜率為

2

，且過點M（0，-2），直線l交曲線C于A、B兩點，求

MA

•

MB

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設E（x₀，y₀），P（x，y），則F（x₀，0）．由

FP

=3

EP

．得

x0=x y0= 2 3 y.

由此能求出P的軌跡方程，當λ=

4

9

時，P點的軌跡是圓．
（II）直線l的方程為y=

2

x-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y= 2 x-2 y2 λ +x2=1

，消去y，得(λ+2)x2-4

2

x+4-λ=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積公式能求出

MA

•

MB

的取值范圍．

解答： 解：（I）設E（x₀，y₀），P（x，y），則F（x₀，0）．
∵

FP

=3

EP

．∴（x-x₀，y）=3（x-x₀，y-y₀）
∴

x0=x y0= 2 3 y.

…（3分）
代入

y 2 0

λ

+

x

2 0

=1中，得

4y2

9λ

+x2=1為P點的軌跡方程．
當λ=

4

9

時，P點的軌跡是圓．（6分）
（II）由題設知直線l的方程為y=

2

x-2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組

y= 2 x-2 y2 λ +x2=1

，消去y，得(λ+2)x2-4

2

x+4-λ=0．（8分）
∵方程組有兩個不等解，∴λ+2≠0且△＞0，
∴λ＞2或λ＜0且λ≠-2，x1•x2=

4-λ

λ+2

，
而

MA

•

MB

=x1x2+(y1+2)•(y2+2)
=x1x2+

2

x1•

2

x2=3x1x2=

3(4-λ)

λ+2

=-3+

18

λ+2

．（10分）
當λ＞2時，-3＜

MA

•

MB

＜

3

2

，
當-2＜λ＜0時，

MA

•

MB

＞-3+9=6，
當λ＜-2時，

MA

•

MB

＜-3，
綜上，

MA

•

MB

的取值范圍為（-∞-3）∪（-3，

3

2

）∪（6，+∞）．（12分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．