3．已知F為雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦點(diǎn)，A（1，4），P是C右支上一點(diǎn)，當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)F到直線(xiàn)AP的距離為$\frac{32}{5}$．

分析 設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F′（4，0），由題意，A，P，F(xiàn)′共線(xiàn)時(shí)，△APF周長(zhǎng)最小，求出直線(xiàn)AP的方程，即可求出點(diǎn)F到直線(xiàn)AP的距離．

解答 解：設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F′（4，0），由題意，A，P，F(xiàn)′共線(xiàn)時(shí)，△APF周長(zhǎng)最小，直線(xiàn)AP的方程為y=$\frac{4}{1-4}$（x-4），即4x+3y-16=0，
∴點(diǎn)F到直線(xiàn)AP的距離為$\frac{|-16-16|}{\sqrt{16+9}}$=$\frac{32}{5}$，
故答案為：$\frac{32}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

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13．已知雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦點(diǎn)的漸近線(xiàn)的距離為2，且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)x-2y+3=0平行，則雙曲線(xiàn)的方程為（　�。�
A．$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$B．$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$C．$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$D．$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$

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14．在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，$AB=AD=\frac{1}{2}CD$，AB⊥AD，AB∥CD，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)．
（I）求證：MB∥平面PAD；
（II）求二面角P-BC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

11．a(chǎn)＞b的一個(gè)充分不必要條件是（　�。�
A．a=1，b=0B．$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$C．a2＞b2D．a3＞b3

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18．在△ABC中，若BC=2，A=120°，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$的最大值為（　�。�
A．$\frac{2}{3}$B．-$\frac{2}{3}$C．$\frac{4}{3}$D．-$\frac{4}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．在圓x2+y2=3上任取一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)PD，D為垂足，$\overrightarrow{PD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{MD}$動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．
（1）求C的方程及其離心率；
（2）若直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△AOB面積的最大值．

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15．圓x2+y2-6x-2y+3=0的圓心到直線(xiàn)x+ay-1=0的距離為1，則a=（　�。�
A．$-\frac{4}{3}$B．$-\frac{3}{4}$C．$\sqrt{3}$D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

12．已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，要使過(guò)定點(diǎn)A（1，2）作圓的切線(xiàn)有兩條，則a的取值范圍是（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

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13．函數(shù)$y=\frac{6}{{{2^x}+{3^x}}}（-1≤x≤1）$的最小值為（　　）
A．3B．$\frac{6}{5}$C．$\frac{36}{5}$D．$\frac{6}{13}$

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