Question

將函數(shù)y=

1

x

的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線x²-y²=2．據(jù)此類推得函數(shù)y=

4x

x-1

的圖象的焦距為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于y=

4x

x-1

=4+

4

x-1

，雙曲線y=

4x

x-1

的圖象可由y=

4

x

進(jìn)行形狀不變的變換而得，從而得到雙曲線y=

4x

x-1

的圖象與雙曲線y=

4

x

的圖象全等，它們的焦距相同，又根據(jù)題意得：將雙曲線x²-y²=8繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線y=

4

x

．故只須求出雙曲線x²-y²=8的焦距即可．

解答： 解：∵y=

4x

x-1

=4+

4

x-1

，
∴雙曲線y=

4x

x-1

的圖象可由y=

4

x

進(jìn)行形狀不變的變換而得，
∴雙曲線y=

4x

x-1

的圖象與雙曲線y=

4

x

的圖象全等，它們的焦距相同，
根據(jù)題意：函數(shù)y=

1

x

的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線x²-y²=2．
類比可得：將雙曲線x²-y²=8繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到雙曲線y=

4

x

．
而雙曲線x²-y²=8的a=b=

8

，c=4，
∴焦距為2c=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查旋轉(zhuǎn)變換、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．屬于中檔題．