Question

某淋浴房地面的形狀如圖，是半徑為1米的直角扇形AOB，OM是∠AOB的平分線，D是弧AB上的一點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作內(nèi)接矩形DEFG，且DE⊥OM，若將矩形的部分鋪設(shè)成防滑瓷磚，設(shè)∠DOG=θ
（1）請(qǐng)將DG的長(zhǎng)度表示成θ的函數(shù)；
（2）求淋浴房?jī)?nèi)防滑部分的面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：弧度制的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,扇形面積公式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意可得∠OGD=135°，在△OGD中，由正弦定理可得：

1

sin135°

=

DG

sinθ

，即可解得；
（2）ED=2ODsin(

π

4

-θ)=

2

cosθ-

2

sinθ，可得S=ED•DG=

2

sinθ(

2

cosθ-

2

sinθ)=

2

sin(2θ+

π

4

)-1，
利用0＜θ＜

π

4

，可得

π

4

＜2θ+

π

4

＜

3π

4

．即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得∠OGD=135°，在△OGD中，由正弦定理可得：

1

sin135°

=

DG

sinθ

，解得DG=

2

sinθ(0＜θ＜

π

4

)．
（2）ED=2ODsin(

π

4

-θ)=

2

cosθ-

2

sinθ，
∴S=ED•DG=

2

sinθ(

2

cosθ-

2

sinθ)
=sin2θ-2sin²θ
=sin2θ-（1-cos2θ）
=

2

sin(2θ+

π

4

)-1，
∵0＜θ＜

π

4

，∴

π

4

＜2θ+

π

4

＜

3π

4

．
∴當(dāng)2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

時(shí)，sin(2θ+

π

4

)取得最大值1，
此時(shí)淋浴房?jī)?nèi)防滑部分的面積S的最大值為

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的面積、正弦定理、兩角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．