Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（x）不是常函數(shù)，常數(shù)t＞0使f（t）=0，給出下列結(jié)論：①f(

t

2

)=

2

2

；②f（x）是奇函數(shù)；③f（x）是周期函數(shù)且一個(gè)周期為4t；④f（x）在（0，2t）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)．其中正確命題的序號(hào)是

③

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=0可得2f（x）=2f（x）f（0），進(jìn)而分析可得f（0）=1，依次分析4個(gè)命題，對(duì)于①、令x=y=

t

2

，可得f（t）+f（0）=2f（

t

2

）²，易得f（

t

2

）²=±

2

2

，故①錯(cuò)誤，對(duì)于②、令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），分析可得f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函數(shù)，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③、令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，可得f（x+t）=-f（x-t），進(jìn)而可得f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），可以判斷③正確，對(duì)于④、根據(jù)題意，無(wú)法判斷f（x）的單調(diào)性，則④錯(cuò)誤；綜合可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，
令y=0可得，2f（x）=2f（x）f（0），又由f（x）不是常函數(shù)，即f（x）=0不恒成立，則f（0）=1，
依次分析4個(gè)命題可得：
對(duì)于①、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=y=

t

2

，可得f（t）+f（0）=2f（

t

2

）²，
結(jié)合f（0）=1，f（t）=0，可得f（

t

2

）²=

1

2

，則可得f（

t

2

）²=±

2

2

，故①錯(cuò)誤，
對(duì)于②、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令x=0，可得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），f（y）+f（-y）=0不恒成立，f（x）不是奇函數(shù)，故②錯(cuò)誤，
對(duì)于③、在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=t可得，在f（x+t）+f（x-t）=2f（x）f（t）=0，
即f（x+t）=-f（x-t），則f（x+3t）=-f（x+t）=f（x-t），即f（x+3t）=f（x-t），則f（x）是周期函數(shù)且一個(gè)周期為4t，③正確，
對(duì)于④、根據(jù)題意，無(wú)法判斷f（x）的單調(diào)性，則④錯(cuò)誤；
故答案為③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意，在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）中，令y=0，求出f（0）的值，注意f（x）不是常函數(shù)，應(yīng)該把f（0）=0舍去．