設(shè)橢圓M:數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1(a>b>0)的離心率為數(shù)學(xué)公式,點(diǎn)A(0,a),B(-b,0),原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為數(shù)學(xué)公式,P是橢圓的右頂點(diǎn),直線(xiàn)l:x=my-n與橢圓M相交于C,D兩點(diǎn),且數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)求證:直線(xiàn)l的橫截距n為定值.

解:(Ⅰ)由e2===1-=,得a=b
由點(diǎn)A(0,a),B(-b,0)知直線(xiàn)AB的方程為+=1,即lAB:4x-3y+4b=0
又原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離=b=,∴b=3,

∴b2=9,a2=16
從而橢圓M的方程為:+=1.
(Ⅱ)易知P(3,0),設(shè)C(x1,y1),(x2,y2),將x=my+n代入+=1化簡(jiǎn)整理得
(16m2+9)y2+32mny+16n2-144=0
則y1+y2=,y1y2=
=0?(x1-3,y1)•(x2-3,y2)=0即(x1-3)•(x2-3)+y1y2=0
又x1=my1+nn,x2=my2+nn
∴(my1+n-3)•(my2+n-3)+y1y2=0,
整理得(m2+1)y1y2+m(n-3)(y1+y2)+(n-3)2=0
即(m2+1)×+m(n-3)×+(n-3)2=0
易知n≠3,∴16(m2+1)(n+3)-32m2n+(16m2+9)(n-3)=0
展開(kāi)得25n+21=0?n=-
∴直線(xiàn)l的橫截距n為定值


分析:(Ⅰ)由e2===1-=,得a=b,由點(diǎn)A(0,a),B(-b,0)知直線(xiàn)AB的方程為+=1,再由點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離=b=,知b=3,由此能夠得到橢圓M的方程.
(Ⅱ)P(3,0),設(shè)C(x1,y1),(x2,y2),將x=my+n代入+=1,得(16m2+9)y2+32mny+16n2-144=0,則y1+y2=,y1y2=.由=0,知(x1-3)•(x2-3)+y1y2=0,由x1=my1+nn,x2=my2+nn,知(my1+n-3)•(my2+n-3)+y1y2=0,由此能夠證明直線(xiàn)l的橫截距n為定值.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法和直線(xiàn)l的橫截距n為定值的證明,解題時(shí)要注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用和合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
2
2
,點(diǎn)F2到右準(zhǔn)線(xiàn)為l的距離為
2

(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)設(shè)M,N是l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),
F1M
F2N
=0
,
證明:當(dāng)|MN|取最小值時(shí),
F1F2
+
F2M
+
F2N
=
0

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設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
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=1
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(I)求橢圓的方程;
(II)過(guò)定點(diǎn)M(m,0)(-2<m<2,m≠0為常數(shù))作斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A.B,問(wèn)在x軸上是否存在一點(diǎn)N,使直線(xiàn)NA與NB的傾斜角互補(bǔ)?若存在,求出N點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l:y=2x+m與橢圓M相交于C、D不同兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)線(xiàn)段CD上點(diǎn)E的直線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)P,且有=0,||=||,試求△PCD面積S的最大值.

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