Question

設(shè)橢圓M：+=1（a＞b＞0）的離心率為，點A（a，0），B（0，-b），原點O到直線AB的距離為．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=2x+m與橢圓M相交于C、D不同兩點，經(jīng)過線段CD上點E的直線與y軸相交于點P，且有=0，||=||，試求△PCD面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由得a=．可得直線AB的方程為，于是，由此能夠求出橢圓M的方程．
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由方程組，得9x²+8mx+2m²-4=0，所以有，，且△≥0，即m²≤18.=．由，E是線段CD的中點，由此能求出S的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由得a=  （2分）
可得直線AB的方程為，于是，
得b=，b²=2，a²=4，所以橢圓M的方程為  （2分）
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由方程組，
得9x²+8mx+2m²-4=0，
所以有，，且△≥0，即m²≤18．（2分）

=
=
=
=．（2分）
因為，
所以，
又，
所以E是線段CD的中點，
點E的坐標(biāo)為，即E的坐標(biāo)是，
因此直線PE的方程為y=-，得點P的坐標(biāo)為（0，-），
所以|PE|=
=．（2分）
因此
=．
所以當(dāng)m²=9，即m=±3時，S取得最大值，最大值為．
點評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．